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动态几何中的平行四边形
浏览362次 发布时间:2018-06-19

                   湖北省荆门市龙泉北校   钱瑞玲  方芸  448000  

以二次函数为背景的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点,其图形复杂,知识覆盖面广,综合性强,对学生分析问题和解决问题的能力要求很高.

一、预备知识

1.如图1,在平行四边形ABCD中,任意两个顶点所连接而成的线段,要么是平行四边形的边,要么是平行四边形的对角线.例如:连接顶点A、B的线段AB是边,连接顶点A、C的线段AC是对角线.

2.如图2,已知点A1,2),点B-1,0),点C3,1),将线段AB平移至线段CD,使得点A和点C对应,点B和点D对应,求点D的坐标.


解析:点A到点C的平移规律是先向右平移2个单位,再向下平移1个单位,从点的坐标规律来看,横坐标加2,纵坐标减1,所以点B到点D也要作相同的平移变换,则点D的坐标为(-1+2,0-1)即(1,-1).

 

二、试题呈现、解析及反思

1题.已知点A0,3),点P0,1),点Q0.8,2.4),在平面内是否存在一点M,使得以点A、P、Q、M为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点M的坐标.


1题解析:当AP为边时,MQ也为边,则AP平行且等于MQ.如图3、图4

A0,3),点P0,1 AP=3-1=2 MQ=2  Q0.8,2.4 M1为(0.8,2.4+2)即(0.8,4.4),点M2为(0.8,2.4-2)即(0.8,0.4

AP为对角线时,MQ也为对角线,则APMQ互相平分.如图5

由线段AQ平移到MP的规律可知,点M3为(0-0.8,3-1.4)即(-0.8,-1.6).

综上所述,满足条件的点M3个,它们的坐标分别为点M10.8,4.4),点M20.8,0.4),点M3-0.8,-1.6).

反思:已知三个定点,点A0,3),点P0,1),点Q0.8,2.4),如何确定第四个顶点的位置呢?从预备知识我们知道,可以任意连接两个点,让这两点所连成的线段为平行四边形的边或对角线.不妨连接y轴上的两点A、P,以线段AP为分类标准,若以AP为边,则MQ也为边, AP平行且等于MQ.由APMQ确定点M在点Q的正上方或正下方,再由MQ =AP =2计算出点M的坐标.若以AP为对角线,则点M和点Q应分布在线段AP异侧,点QAP的右边,所以点M应在AP的左边,画出草图,根据预备知识2,由线段AQ平移到MP的规律可计算出点M的坐标.

2.已知抛物线经过 A(-4,0), B(0,-4), C(2,0)

1)求抛物线的解析式;

2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;

3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线 y=-x 上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.

 

2题解析:(1;(2)略

3)当OB为边时,PQ为边,则OB平行且等于PQ.如图6、图7、图8

设点,点Qm,-m点 B(0,-4) OB=4  解得

OB为对角线时,PQ为对角线,则OBPQ互相平分.如图9

设点Qm,-m),由OQ平移到PB的规律可知点P-m,-4+m),将点P-m,-4+m)代入,解得

综上所述,满足条件的点Q4个,它们的坐标分别为 


反思:本题不同于第1题,第1题已知三个定点,而本题只有两个定点,点O0,0),点B0,-4),如何确定第三个、第四个顶点的位置呢?我们仍然以y轴上的两点O、B所连接的线段OB为分类标准,由于点P、点Q都是动点,所以先设点Qm,-m).若以OB为边,则PQ也为边, OB平行且等于PQ.由OBPQ可知点P在点Q的正上方或或正下方,则点P的坐标可设为,线段PQ的长度可用坐标之差表示为,再由PQ =OB=4列出方程,算出m的值.若以OB为对角线,则点P和点Q应分布在线段OB异侧,画出草图,根据预备知识2,由线段OQ平移到PB的规律可以设出P-m,-4+m),再将点P-m,-4+m)代入,从而计算出点Q的坐标.

3.已知抛物线与x轴交于点A1,0),点B-3,0),与y轴交于点C0,3),点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出所有满足条件的F点坐标;若不存在,请说明理由.

3题解析:先求出抛物线解析式为,当AF为边时,CG为边,则AF平行且等于CG.如图10、图11抛物线对称轴为直线x=-1∴点C到对称轴的距离为1 ,∴AF=CG=2×1=2    A1,0)∴点;当AF为对角线时,CG为对角线,则AFCG互相平分.如图12、图 13

设点Fm,0),由CA平移到FG的规律可设点G为(m+1,-3),将点G代入

反思:第3题类似于第2题,也属于两定两动型,但是已知的两个定点A、C并不在同一坐标轴上,我们不妨仍然以同在x轴上的两点A、F所连的线段为分类标准.若以AF为边时,CG也为边,则AF平行且等于CG.过点Cx轴的平行线,与抛物线的交点就是点G,则点G、C关于抛物线的对称轴直线x=-1对称.将点G的纵坐标3代入解析式,算出点G的横坐标,或直接利用CG的长度为点C到对称轴距离的2倍,求出CG的长为2.再由AF=CG=2以及点F在点A的左边或右边,确定点F的坐标.若以AF为对角线,类似于第2题,先设点F坐标为(m,0),根据平移规律得到点G坐标为(m+1,-3),将点G代入解析式,算出m的值

  


42015年荆门市中考题)如图,在矩形OABC 中,OA=5,AB=4,点D 为边AB 上一点,将BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA边上的点E 处,分别以OC,OA 所在的直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系.

1)求OE 的长及经过O,D,C 三点的抛物线的解析式;

2)一动点P 从点C 出发,沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动,同时动点Q E 点出发,沿EC 以每秒1 个单位长的速度向点C 运动,当点P 到达点B 时,两点同时停止运动.设运动时间为t 秒,当t为何值时,DP=DQ;

3)若点N 在(1)中的抛物线的对称轴上,点M 在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使得以M,N,C,E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M 点的坐标;若不存在,请说明理由

4题解析:(12)略(3)设点N-2,n 当以CE为边时, = 1 \* GB3 M在点N左边,如图14,由平移规律可知点M为(-6,n+3),将x=-6代入得,M1-6,16 = 2 \* GB3 M在点N右边,如图15,由平移规律可知点M为(2,n-3),将x=2代入得,M22,16). 当以CE为对角线时,点M是抛物线的顶点,如图16,将x=-2代入,综上所述,满足条件的M3个,它们的坐标分别为M1-6,16),M22,16),


反思4题还是两定两动型,但这4M,N,C,E,没有任何两个点在同一坐标轴上,所以只能以两个定点所连的线段CE为分类标准

三、方法归纳

    有关平行四边形的存在性问题,无论是三定一动型,还是两定两动型,关键是确定分类标准,这样才能做到不重复不遗漏.在平行四边形中,任意两个顶点所连接而成的线段,要么是平行四边形的边,要么是平行四边形的对角线.四个顶点中,如果有两点在同一坐标轴上,哪怕其中一点是动点,我们仍然以这两点所连的线段为边或对角线,分两种情况讨论.如第3题,以AF为边或对角线分两类.四个顶点中,如果没有任何两个点在同一坐标轴上,那就以两个定点所连的线段为边或对角线.如第4题,以CE为边或对角线分两类.确定分类标准之后再画草图,确定动点的大概位置,然后利用平移前后点的坐标之间的规律,设出动点的坐标,代入抛物线解析式,计算出点的坐标.

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